自然数を順序を考慮して分割

問題

ABC132 D - Blue and Red Balls

問題概要

ボール:$N$個
うち青:$K$個
ボールを並べて
青の島(青の連続区間の個数)が$i$個になる並べ方の個数
※同色ボールは区別できない

解法

$\left( K\text{を}i\text{個の自然数に分割する方法 } \right) \times \left( N-K\text{を}i+1\text{個の自然数(両端は}0\text{可)に分割する方法} \right)$

$n$を$r$個の自然数に分割する方法

$\displaystyle 0$を許可するとき,${}_{n+r-1}C_{r-1}$
これは丸と線で区切る考え方のやつ.
O|OO|O|OO||O|OO|をシャッフルする,みたいな

$0$を許可しないために事前に1つ入れておく.
$0$が許されない箇所が$k$個あったとき,
$\displaystyle {}_{n-k+r-1}C_{r-1}$