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board_lift_weight [2020/04/13 10:23] (現在)
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 +# 板の一端を持ち上げるときに必要な力の大きさ
 +## 問題
 +地面に置かれた質量の偏りのない板があり,一端を持ち上げたときに必要な力の大きさを求めよ.
 +板の厚さは考えず,地面との位置のズレは考慮しない.
  
 +## 前提
 +$M$:重量
 +$T$:引く力
 +$N$:地面からの力($x$:摩擦, $y$:垂直抗力)
 +$l$:板の長さ
 +$\theta$:板の傾き(水平$=0$)
 +
 +## 解答
 +$h=l\sin \theta,w=l\cos \theta$とする.
 +
 +$T+M+N \equiv 0$ // 釣り合い
 +- $|N_y + T_y|=|M|$ // 上下方向の釣り合い
 +- $|N_x |=|T_x|$ // 水平方向の釣り合い
 +
 +(幾何的に考えています.図は省略)(Nの延長とTの延長の交わる点を求める)
 +$1-\frac{h}{y} = \frac{T_y}{N_y}$
 +$\displaystyle y = \frac{h}{1-\frac{T_y}{N_y}}$
 +
 +$x=w\frac{T_y}{|M|}$
 +なる$(x,y)=P$とし,
 +$normalized(P-(w/2,h/2)) = normalized(N+T)$($normalized(a)$は$a$の長さを1にしたものとする)
 +$\displaystyle P-(w/2,h/2) = \left(w(\frac{T_y}{|M|}-\frac 12),h(\frac{1}{1-\frac{T_y}{N_y}}-\frac 12)\right)$
 +
 +$\displaystyle \left(h(\frac{1}{1-\frac{T_y}{N_y}}-\frac 12)\right)/\left(w(\frac{T_y}{|M|}-\frac 12)\right) = (|M|)/(T_x+N_x)$
 +
 +$w=0$
 +または
 +$\frac{T_y}{|M|}-\frac 12 = 0$
 +$\therefore |M|=2 T_y$ //回転モーメントの釣り合い
 +
 +この場合前者は無視して良い($\theta=90\degree$)ので後者のみ考える
 +
 +$2T_y=|M| \Rightarrow N_y=T_y$
 +$|N_x|=|T_x|$より$|N|=|T|$
 +
 +垂直方向の力:$T_y$は一定,$T_x$は角度に依存しないことから
 +力が最小で済むのは鉛直上向きに持ち上げた時.その大きさは$\frac{|M|}{2}$
最終更新: 2020/04/13 10:23